幾何（Geometry）とは
幾何（Geometry）とは、空間における図形やその関係を研究する数学の分野です。点・線・面・立体の性質や、それらの相互関係を扱います。
| 時代 | 主な出来事・人物 | 特徴・貢献 |
|---|---|---|
| 1. 幾何の起源と歴史 | ||
| 古代文明 | ・古代エジプト（紀元前3000年頃） ・バビロニア（紀元前2000年頃） |
・ナイル川の氾濫による土地測量から発展 ・ピラミッド建設に利用 ・円や三角形の計算方法を記録 |
| 古代ギリシャ | ・タレス（紀元前6世紀） ・ピタゴラス（紀元前6世紀） ・ユークリッド（紀元前3世紀） |
・タレスの定理を証明 ・ピタゴラスの定理を発見 ・『原論』で幾何学を公理体系として確立 |
| 近代（19世紀以降） | ・ロバチェフスキー ・リーマン |
・非ユークリッド幾何学の発展 ・リーマン幾何学（曲がった空間を扱う） |
| 2. 幾何学の分類 | ||
| ユークリッド幾何学 | – | ・点・直線・円・多角形などの基本図形を扱う ・ピタゴラスの定理、三角形の内角の和は180度 |
| 非ユークリッド幾何学 | ・球面幾何学 ・双曲幾何学 |
・球の表面の図形を扱う ・一般相対性理論で使用 |
| 解析幾何学 | デカルト | ・座標を用いて図形を解析 ・直線や円の方程式を扱う |
| 位相幾何学 （トポロジー） |
– | ・形を変えても変わらない性質を研究 ・ドーナツとコーヒーカップの同一性 |
1. 幾何の起源と歴史
(1) 古代文明における幾何の発展
古代エジプト（紀元前3000年頃）
・ナイル川の氾濫による土地測量から幾何学が発展。
・ピラミッド建設においても幾何学的な知識が利用された。
バビロニア（紀元前2000年頃）
・円や三角形の計算方法を記した粘土板が残されている。
古代エジプト（紀元前3000年頃）
・ナイル川の氾濫による土地測量から幾何学が発展。
・ピラミッド建設においても幾何学的な知識が利用された。
バビロニア（紀元前2000年頃）
・円や三角形の計算方法を記した粘土板が残されている。
(2) 古代ギリシャの幾何学体系化
タレス（紀元前6世紀）
・幾何学の基本定理（タレスの定理）を証明。
ピタゴラス（紀元前6世紀）
・ピタゴラスの定理（直角三角形の辺の関係）を発見。
ユークリッド（紀元前3世紀）
・『原論（Elements）』で幾何学を公理体系として確立。
・ユークリッド幾何学（平面幾何）を定式化し、約2000年間数学の基礎となる。
タレス（紀元前6世紀）
・幾何学の基本定理（タレスの定理）を証明。
ピタゴラス（紀元前6世紀）
・ピタゴラスの定理（直角三角形の辺の関係）を発見。
ユークリッド（紀元前3世紀）
・『原論（Elements）』で幾何学を公理体系として確立。
・ユークリッド幾何学（平面幾何）を定式化し、約2000年間数学の基礎となる。
(3) 近代幾何学の発展（19世紀以降）
非ユークリッド幾何学（19世紀）
・ロバチェフスキー、リーマンらによって発展。
・ユークリッドの平行線公準を否定する幾何学が誕生。
リーマン幾何学（19世紀）
・曲がった空間を扱う幾何学。
・アインシュタインの一般相対性理論に応用される。
非ユークリッド幾何学（19世紀）
・ロバチェフスキー、リーマンらによって発展。
・ユークリッドの平行線公準を否定する幾何学が誕生。
リーマン幾何学（19世紀）
・曲がった空間を扱う幾何学。
・アインシュタインの一般相対性理論に応用される。
2. 幾何学の分類
(1) ユークリッド幾何学
・点・直線・円・多角形などの基本図形を扱う。
・例 ピタゴラスの定理、三角形の内角の和は180度。
・点・直線・円・多角形などの基本図形を扱う。
・例 ピタゴラスの定理、三角形の内角の和は180度。
(2) 非ユークリッド幾何学
球面幾何学（球の表面の図形を扱う）
・例 地球上の三角形の内角の和は180度以上になる。
双曲幾何学（ユークリッド幾何と異なる平行線の性質を持つ） ・例 一般相対性理論で使用。
球面幾何学（球の表面の図形を扱う）
・例 地球上の三角形の内角の和は180度以上になる。
双曲幾何学（ユークリッド幾何と異なる平行線の性質を持つ） ・例 一般相対性理論で使用。
(3) 解析幾何学（デカルトが確立）
・座標を用いて図形を解析する幾何学。
・例 直線の方程式 y = mx + b や円の方程式。
・座標を用いて図形を解析する幾何学。
・例 直線の方程式 y = mx + b や円の方程式。
(4) 位相幾何学（トポロジー）
・形を変えても変わらない性質を研究。
・例 ドーナツとコーヒーカップは同じトポロジー的構造を持つ。
・形を変えても変わらない性質を研究。
・例 ドーナツとコーヒーカップは同じトポロジー的構造を持つ。
3. まとめ
✅ 幾何は空間における図形の性質を研究する分野。
✅ 古代エジプト・ギリシャで発展し、ユークリッド幾何が体系化。
✅ 19世紀に非ユークリッド幾何が登場し、現代数学や物理学に応用。
✅ 解析幾何・トポロジーなど、多くの派生分野が誕生。
✅ 古代エジプト・ギリシャで発展し、ユークリッド幾何が体系化。
✅ 19世紀に非ユークリッド幾何が登場し、現代数学や物理学に応用。
✅ 解析幾何・トポロジーなど、多くの派生分野が誕生。
幾何学は、数学の基盤としてだけでなく、物理学・コンピュータ科学・建築など幅広い分野で活用されています。
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